Заметки о гипотезе коразмерности образа один в операторной теореме о короне

Для любого $\delta$, $0<\delta<1$, строятся примеры сжатий, характеристическая функция которых $F\in H^\infty(\mathcal E\to\mathcal E_\ast)$ удовлетворяет условиям
$$ \|F(z)x\|\geq\delta\|x\|,\quad\dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E=1 $$
для всех $z\in\mathbb D$, $x\in\mathcal E$, но не обратима слева, что дает ответ на вопрос С. Р. Треиля (2004). Также показано, что условие
$$ \sup_{z\in\mathbb D}\|I-F(z)^\ast F(z)\|_{\mathfrak S_1}<\infty, $$
где $\mathfrak S_1$ – класс ядерных операторов, достаточное для обратимости слева операторнозначной функции $F$, удовлетворяющей оценке $\|F(z)x\|\geq\delta\|x\|$ для всех $z\in\mathbb D$, $x\in\mathcal E$, при $\delta>0$ (S. R. Treil, 2004), является необходимым для обратимости слева внутренней функции $F$, такой что $\dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E<\infty$ при некотором $z\in\mathbb D$. Библ. – 25 назв.