The commutators of classical groups

Полвека назад в основополагающей работе Хайман Басс установил коммутационные формулы для (предельных) полных линейных групп, которые были ключевым шагом в определении групп $K_1$. А именно, он доказал, что для произвольного ассоциативного кольца с 1 выполняются равенства
$$ E(A)=[E(A),E(A)]=[\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)], $$
где $\operatorname{GL}(A)$ – предельная полная линейная группа, а $E(A)$ – ее элементарная подгруппа. С тех пор различные коммутационные формулы изучались в стабильных и нестабыльных контекстах для самых различных групп, таких как классические группы, алгебраические группы и их аналоги; в основном в связи с описанием субнормальных подгрупп в этих группах.
Основные классические теоремы и развитые для их доказательства методы связаны с именами героев классической алгебраической $K$-теории: Бака, Квиллена, Милнора, Суслина, Суона, Васерштейна и других. Основная технике, использовавшаяся для доказательства коммутационных формул, это локализационные методы. В настоящей работе мы описываем некоторые недавние приложения локализационных методов к изучению высших/относительных коммутаторов в группах точек алгебраических и подобных им групп, таких как полные линейные группы $\operatorname{GL}(n,A)$, унитарные группы $\operatorname{GU}(2n,A,\Lambda)$ и группы Шевалье $G(\Phi,A)$. Мы также формулируем некоторые вспомогательные результаты и следствия наших основных результатов.
Эти записки дают общий обзор предмета и покрывают некоторые последние достижения. Чтобы дать читателю независимый источник, мы приводим полные доказательства нескольких основных результатов. Библ. – 144 назв.