Discriminant and root separation of integral polynomials

Рассмотрим случайный полином
$$ G_Q(x)=\xi_{Q,n}x^n+\xi_{Q,n-1}x^{n-1}+\dots+\xi_{Q,0} $$
с независимыми коэффициентами, равномерно распределенными на $2Q+1$ целочисленных точках $\{-Q,\dots,Q\}$. Обозначим $D(G_Q)$ дискриминант $G_Q$. Мы покажем, что существует константа $C_n$, зависящая только от $n$, такая что для всех $Q\ge2$ распределение $D(G_Q)$ может быть приближено следующим образом:
$$ \sup_{-\infty\leq a\leq b\leq\infty}\left|\mathbf P\left(a\leq\frac{D(G_Q)}{Q^{2n-2}}\leq b\right)-\int_a^b\varphi_n(x)\,dx\right|\leq\frac{C_n}{\log Q}, $$
где $\varphi_n$ обозначает плотность распределения дискриминанта случайного полинома степени $n$ с независимыми коэффициентами, равномерно распределенными на $[-1,1]$.
Обозначим $\Delta(G_Q)$ минимальное расстояние между комплексными корнями $G_Q$. В качестве приложения мы покажем, что для любого $\varepsilon>0$ существует константа $\delta_n>0$, такая что $\Delta(G_Q)$ стохастически ограничено снизу и сверху для всех достаточно больших $Q$ в следующем смысле:
$$ \mathbf P\left(\delta_n<\Delta(G_Q)<\frac1{\delta_n}\right)>1-\varepsilon. $$
Библ. – 14 назв.