О среднем квадратичном остаточного члена для дзета-функций Дедекинда

Пусть $K_n$ – поле алгебраических чисел степени $n$ над $\mathbb Q$. Обозначим через $D(x,K_n)$ количество целых идалов поля $K_n$, норма которых $\leq n$. Справедлива асимптотика
$$ \Delta(x, K_n)=D(x, K_n)-\Lambda_n x. $$
История оценок остаточного члена $\Delta(x, K_n)$ начинается с результатов
$$ \Delta (x, K_n)\ll x^{1-\frac1n}\qquad\text{(Вебер (1896))} $$
и
$$\Delta(x, K_n)\ll x^{\frac{n-1}{n+1}}\qquad\text{(Ландау (1917))}. $$
Если $n>2$, то, как доказали Чандрасекхаран и Нарасимхан в 1964 году,
\begin{equation} \int^x_1\Delta(y, K_n)^2\,dy\ll x^{3-\frac4n}\log^nx. \end{equation}
В настоящей статье автор усиливает (1) в двух случаях:
1) для $K_4=\mathbb Q(\root4\of{m})$, $m>1$ и целое, имеет место
$$ x^{\frac74}\ll\int^x_1\Delta(y,K_4)^2dy\ll x^{\frac74+\varepsilon}; $$

2) для $K_6$, нормального замыкания кубического поля $K_3$ с группой Галуа $S_3$ и дискриминантом $\Delta<0$, имеет место
$$ x^{\frac{11}6}\ll\int^x_1\Delta(y,K_6)^2\,dy\ll x^{2+\varepsilon}. $$
Библ. – 20 назв.