Ortogonal pairs and mutually unbiased bases

Данная работа посвящена изучению близких друг другу математического и физического обьектов: ортогональных пар в $\mathrm{sl}(n)$ и взаимно-несмещенных базисов в $\mathbb C^n$. Математический обьект – это пара картановских подалгебр в алгебре Ли $\mathrm{sl}(n)$, ортогональных относительно формы Киллинга. Описание ортогональных пар – важный шаг к решению открытой проблемы классификации разложений алгебры Ли $\mathrm{sl}(n)$ в прямую сумму ортогональных (в смысле формы Киллинга) картановских подалгебр. С другой стороны, одним из важных понятий квантовой механики, квантовой теории информации и квантовой телепортации являются взаимно-несмещенные базисы. А именно, взаимно-несмещенные базисы в эрмитовом пространстве $\mathbb C^n$ – это пара базисов $\{e_i\}^n_{i=1}$, $\{f_j\}^n_{j=1}$, таких, что $|\langle e_i|f_j\rangle|^2=\frac1n$ для любых $i,j=1,\ldots,n$. Понятия ортогональных пар в $\mathrm{sl}(n)$ и взаимно-несмещенных базисов в $\mathbb C^n$ очень близки друг к другу. На настоящий момент проблемы классификации ортогональных пар в $\mathrm{sl}(n)$ и взаимно-несмещенных базисов в $\mathbb C^n$ открыты даже для случая $n=6$. В работе мы даем обзор нашего доказательства существования комплексного четырехмерного семейства ортогональных пар в $\mathrm{sl}(6)$. В этом доказательстве сильно используются методы теории представлений и алгебраической геометрии. Как следствие из этого результата получается существование семейства взаимно-несмещенных базисов в $\mathbb C^6$, параметризованного четырьмя действительными параметрами, что решает достаточно давно стоящую гипотезу. Библ. – 24 назв.