Calculations in exceptional groups, an update

Настоящая статья является слегка расширенным текстом нашего доклада на PCA-2014. Там мы анонсировали два недавних результата, связанных с явными полиномиальными уравнениями, определяющими исключительные группы Шевалле в микровесовых и присоединенных представлениях. Один из них состоял в явном не зависящем от характеристики описании уравнений на матричные элементы матриц из односвязной группы Шевалле $G(\mathrm E_7,R)$ в $56$-мерном представлении $V$. Ранее такого типа описание было известно для группы $G(\mathrm E_6,R)$ в $27$-мерном представлении, в то время как для группы типа $\mathrm E_7$ оно имелось лишь при дополнительном предположении, что $2\in R^*$. В частности, мы вычисляем нормализатор $G(\mathrm E_7,R)$ в $\mathrm{GL}(56,R)$ и устанавливаем, что, как и нормализатор элементарной подгруппы $E(\mathrm E_7,R)$, он совпадает с расширенной группой Шевалле $\bar G(\mathrm E_7,R)$. Конструкция инвариантов основана на работах Дж. Лурье и первого автора о $\mathrm E_7$-инвариантных $4$-формах на $V$.
Еще один важный новый результат состоит в явном описании квадратичных уравнений, определяющих орбиту вектора старшего веса в присоединенных представлениях групп Шевалле типов $\mathrm E_6$, $\mathrm E_7$ и $\mathrm E_8$. Часть этих уравнений, а именно уравнения, не включающие нулевых весов, так называемые квадратные уравнения (или $\pi/2$-уравнения), были описаны вторым автором. Недавно первому автору удалось завершить этот результат, явно перечислив уравнения, в которые координаты нулевого веса входят линейно ($2\pi/3$-уравнения) или квадратично ($\pi$-уравнения). Кроме того, мы совсем коротко обсуждаем недавние результаты С. Гарибальди и Р. М. Гуральника, относящиеся к инвариантам степени $8$ для группы типа $\mathrm E_8$. Библ. – 74 назв.