О числе классов полей алгебраических чисел

Пусть $K$ – числовое поле степени $n$ над $\mathbb Q$ и $d,h$ и $R$ – абсолютное значение дискриминанта, число классов и регулятор поля $K$ соответственно. Хорошо известно, что если $K$ не содержит квадратичного подполя, то
$$ hR\underset n\gg\frac{d^{1/2}}{\log d}. $$
В теореме 1 работы этот результат уточняется в случае чисто кубического поля $K$.
Рассмотрим семейство $\mathcal K_n$ полей, где $K\in\mathcal K_n$, если $K$ – тотально вещественное числовое поле степени $n$, нормальное замыкание которого имеет в качестве группы Галуа симметрическую группу $S_n$. В теореме 2 доказано, что при фиксированном $n\ge2$ существует бесконечное множество полей $K\in\mathcal K_n$ с
$$ h\underset n\gg d^{1/2}(\log\log d)^{n-1}/(\log d)^n. $$
Это несколько улучшает аналогичный результат Дьюка (W. Duke, Compos. Math. 136 (2003), 103–115). Библ. – 16 назв.