Плотностные теоремы и среднее значение арифметических функций на коротких интервалах

Пусть $\Gamma=SL_2(\mathbb Z)$, $Z_\Gamma(s)$ – дзета-функция Сельберга;
$$ \pi_\Gamma(P)=\sum_{N(\mathcal P)\le P}1, $$
где $\mathcal P$ – примитивный гиперболический класс сопряженных элементов группы $\Gamma$, $N(\mathcal P)$ – норма класса $\mathcal P$. Показано, что при $P^{1/2+\theta}=Q$, $0\le\theta\le1/2$ имеем
$$ \pi_\Gamma(P+Q)-\pi_\Gamma=\int_P^{P+Q}\frac{du}{\log u}+O_\varepsilon(QP^{-\sigma(\theta)+\varepsilon}), $$
где
$$ \sigma(\theta)=\frac{\theta^2}2+O(\theta^3),\qquad\theta\to0. $$
Тем самым доказана гипотеза Иванца (1984). Аналогичные асимптотические формулы получены для сумм
$$ \sum_{P<d\le P+Q}\frac{h(-d)}{\sqrt d}\quad{\text и}\quad\sum_{P<n\le P+Q}\frac{r_3(n)}{\sqrt n}, $$
где $h(-d),r_3(n)$ – число классов мнимого квадратичного поля дискриминанта $-d<0$, $r_3(n)$ – число представлений $n$ суммой трех квадратов соответственно. Библ. – 7 назв.