Начально-краевая задача с проскальзыванием для уравнений водных растворов полимеров со штрафом

Доказывается существование “в малом” единственного классического решения следующих двух диссипативных $\varepsilon$-аппроксимаций для уравнений водных растворов полимеров
\begin{gather} \frac\partial{\partial t}(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)-\nu\Delta v^\varepsilon +v^\varepsilon_k\frac\partial{\partial x_k}(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)+\frac12(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)\operatorname{div}v^\varepsilon-\nonumber\\ -\frac1\varepsilon\operatorname{grad}\operatorname{div}v^\varepsilon=f,\qquad x\in\Omega\subset\mathbb R^3,\quad t\in\mathbb R^+,\quad\varepsilon>0, \tag{1} \end{gather}

\begin{gather} \frac\partial{\partial t}(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)-\nu\Delta v^\varepsilon +v^\varepsilon_k\frac\partial{\partial x_k}(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)+\frac12(v^\varepsilon-\varkappa\Delta v^\varepsilon)\operatorname{div}v^\varepsilon-\nonumber\\ -\frac1\varepsilon(\nu\operatorname{grad}\operatorname{div}v^\varepsilon+\varkappa\operatorname{grad}\operatorname{div}v^\varepsilon_t)=f,\qquad\varepsilon>0, \tag{2} \end{gather}

удовлетворяющего на границе $\partial\Omega$ условию проскальзывания
\begin{equation} v^\varepsilon_n|_{\partial\Omega}=0,\ \ (\operatorname{rot}v^\varepsilon\times n)|_{\partial\Omega}=0,\quad t\in\mathbb R^+;\qquad v^\varepsilon|_{t=0}=v^\varepsilon_0(x),\quad x\in\Omega \tag{3} \end{equation}
Показывается, что если $\varepsilon\to0$ и $v_0^\varepsilon(x)$ сходится к $v_0(x)$ слабо в $J^3_n(\Omega)$, то пары $(v^\varepsilon,-\frac1\varepsilon\operatorname{div}v^\varepsilon)$ и $(v^\varepsilon,-\frac1\varepsilon(\nu\operatorname{div}v^\varepsilon+\varkappa\operatorname{div}v^\varepsilon_t))$ сходятся к единственному классическому решению $(v,p)$ начально-краевой задачи с условием проскальзывания (3) для уравнений водных растворов полимеров
\begin{equation} \frac\partial{\partial t}(v-\varkappa\Delta v)-\nu\Delta v+v_k\frac\partial{\partial x_k}(v-\varkappa\Delta v)+\operatorname{grad}p=f,\qquad\operatorname{div}v=0. \tag{4} \end{equation}
Библ. – 10 назв.