Периодические по времени решения диссипативных $\varepsilon$-аппроксимаций для модифицированных уравнений Навье–Стокса

Доказывается существование “в целом” периодических по $T$ с периодом $t$ классических решений следующих двух диссипативных $\varepsilon$-аппроксимаций для модифицированных в смысле О. А. Ладыженской уравнений Навье–Стокса
\begin{equation} \frac{\partial v^\varepsilon}{\partial t}-\left[\nu_0+\nu_1\|v_x^\varepsilon\|^2_2\right]\Delta v^\varepsilon+v^\varepsilon_k v^\varepsilon_{x_k}+\frac12v^\varepsilon\operatorname{div}v^\varepsilon-\frac1\varepsilon\operatorname{grad}\operatorname{div}v^\varepsilon=f,\quad \varepsilon>0, \tag{1} \end{equation}

\begin{equation} \left.\begin{aligned} &\frac{\partial v^\varepsilon}{\partial t}-\left[\nu_0+\nu_1\|v_x^\varepsilon\|^2_2\right]\Delta v^\varepsilon+v^\varepsilon_k v^\varepsilon_{x_k}+\\ &+\frac12v^\varepsilon\operatorname{div}v^\varepsilon-\frac1\varepsilon\operatorname{grad}\operatorname{div}w^\varepsilon=f,\quad \varepsilon>0,\\ &\frac{\partial w^\varepsilon}{\partial t}+\alpha w^\varepsilon=v^\varepsilon,\quad\alpha>0, \end{aligned}\right\} \tag{2} \end{equation}
и следующих двух диссипативных $\varepsilon$-аппроксимаций для уравнений жидкостей Кельвина–Фойгта
\begin{equation} \frac{\partial v^\varepsilon}{\partial t}-\varkappa\Delta v_t^\varepsilon-\nu\Delta v^\varepsilon+v^\varepsilon_k v^\varepsilon_{x_k}+\frac12v^\varepsilon\operatorname{div}v^\varepsilon-\frac1\varepsilon\operatorname{grad}\operatorname{div}v^\varepsilon=f,\quad \varepsilon>0, \tag{3} \end{equation}

\begin{equation} \left.\begin{aligned} &\frac{\partial v^\varepsilon}{\partial t}-\varkappa\Delta v_t^\varepsilon-\nu\Delta v^\varepsilon+v^\varepsilon_k v^\varepsilon_{x_k}+\\ &+\frac12v^\varepsilon\operatorname{div}v^\varepsilon-\frac1\varepsilon\operatorname{grad}\operatorname{div}w^\varepsilon=f,\quad \varepsilon>0,\\ &\frac{\partial w^\varepsilon}{\partial t}+\alpha w^\varepsilon=v^\varepsilon,\quad\alpha>0, \end{aligned}\right\} \tag{4} \end{equation}
удовлетворяющих на границе $\partial\Omega$ области $\Omega\subset\mathbb R^3$ условиям проскальзывания
\begin{gather} v^\varepsilon_n|_{\partial\Omega}=w^\varepsilon_n|_{\partial\Omega}=0,\qquad(\operatorname{rot}v^\varepsilon\times n)|_{\partial\Omega}=\nonumber\\ (\operatorname{rot}w^\varepsilon\times n)|_{\partial\Omega}=0,\qquad t\in\mathbb R^+, \tag{5} \end{gather}
причем предполагается, что свободный член $f(x,t)$ в системах (1)–(4) периодичен по $t$ с периодом $T$.
Показывается, что при $\varepsilon\to0$ периодические по $t$ с периодом $T$ классические решения уравнений (1)–(4), удовлетворяющие краевому условию проскальзывания (5), сходятся к классическим периодическим по $t$ с периодом $T$ решениям модифицированных в смысле О. А. Ладыженской уравнений Навье–Стокса и уравнений жидкостей Кельвина–Фойгта соответственно, удовлетворяющих краевому условию (5). Библ. – 12 назв.