Управляемость в захваченной области для многомерного волнового уравнения с сингулярным граничным управлением

В связи с потребностями т.н. локального подхода к обратным задачам изучается множество “волн” $u^f(\cdot,T)$, где $u^f(x,t)$ – решение начально-краевой задачи: $u_{tt}-\Delta u=0$ в $\Omega\times(0,T)$, $u|_{t<0}=0$, $u|_{\partial\Omega\times(0,T)}=f$, а (сингулярное) управление $f$ пробегает класс $L^2((0,T);H^{-m}(\partial\Omega))$ ($m>0$). Устанавливается следующий результат. Пусть $\Omega^T=\{x\in\Omega\colon\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)<T\}$ есть подобласть $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($\operatorname{diam}\Omega<\infty$), захваченная волнами к финальному моменту $t=T$; $T_*=\inf\{T\colon\Omega^T=\Omega\}$ есть время заполнения всей области. Обозначим $D_m=\operatorname{Dom}((-\Delta)^{m/2})$, где $-\Delta$ – оператор Лапласа; $\operatorname{Dom}(-\Delta)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$; $D_{-m}=D'_m$; $D_{-m}(\Omega^T)=\{y\in D_{-m}\colon\operatorname{supp}y\subset\Omega^T\}$. Если $T<T_*$, то множество достижимости $R^T_m=\{u^f(\cdot,T)\colon f\in L_2((0,T);H^{-m}(\partial\Omega))\}$ ($\forall m>0$), будучи плотным в $D_{-m}(\Omega^T)$, не содержит класса $C^\infty_0(\Omega^T)$. Приводятся примеры $a\in C^\infty_0(\Omega^T)$, $a\not\in R^T_m$. Библ. – 19 назв.