Операторно липшицевы функции и модельные пространства

Пусть $H^\infty$ обозначает пространство ограниченных аналитических функций в верхней полуплоскости $\mathbb C_+$. В работе доказано, что каждая функция из модельного пространства $H^\infty\cap\Theta\overline{H^\infty}$ операторно липшицева на вещественной прямой $\mathbb R$ в том и только в том случае, когда внутренняя функция $\Theta$ удовлетворяет обычному условию Липшица, т.е. $\Theta'\in H^\infty$.
Пусть $(\mathrm{OL})'(\mathbb R)$ обозначает множество всех функций $f\in L^\infty$, первообразная которых операторно липшицева на вещественной прямой $\mathbb R$. Мы доказываем, что $H^\infty\cap\Theta\overline{H^\infty}\subset(\mathrm{OL})'(\mathbb R)$, если внутренняя функция $\Theta$ является произведением Бляшке с корнями, удовлетворяющими равномерному условию Фростмана. В работе также изучаются следующие вопросы. Когда внутренняя функция $\Theta$ принадлежит пространству $(\mathrm{OL})'(\mathbb R)$? Когда все делители внутренней функции $\Theta$ принадлежат пространству $(\mathrm{OL})'(\mathbb R)$?
В качестве приложения мы доказываем, что пространство $(\mathrm{OL})'(\mathbb R)$ не является подалгеброй алгебры $L^\infty(\mathbb R)$.
Ещё одно приложение связано с описанием множеств точек разрыва производных операторно липшицевых функций. Мы доказываем, что множество $\mathcal E$, $\mathcal E\subset\mathbb R$, является множеством точек разрыва некоторой операторно липшицевой функции в том и только в том случае, когда $\mathcal E$ есть множество первой категории и типа $F_\sigma$.
Значительная часть результатов статьи основана на достаточном условии операторной липшицевости, полученном Арази, Бартоном и Фридманом. В статье приводится также достаточной условие операторной липшицевости, которое тоньше достаточного условия Арази–Бартона–Фридмана. Библ. – 27 назв.