О пространстве выпуклых фигур

На фактормножестве множества $F$ плоских выпуклых фигур (множества $T$ выпуклых тел в старших размерностях) по действию группы подобний определяется метрика
$$ d(\{K_1\},\{K_2\})=\inf\{\ln(b/a)\}, $$
где $\{K_1\},\{K_2\}$ – классы эквивалентности фигур $K_1$ и $K_2$, а $a$ и $b$ – положительные числа, для которых существует подобное преобразование $A$ такое, что $aA(K_1)\subset K_2\subset bA(K_1)$.
Обозначим через $D_2$ плоский единичный круг, а через $F_x$ для $x>0$ – множество плоских выпуклых фигур $K$ с $d(\{D_2\}$, $\{K\})\geqslant x$. На множествах $F$ и $T$ определена также обычная метрика Хаусдорфа.
Мы доказываем, что если $y>\ln(\operatorname{sec}(\pi/n))\geqslant x$ для натурального $n>2$, то не существует $\operatorname{SO}(2)$-эквивариантного отображения $F_x\to F_y$.
Пусть $M_k(n)$ – пространство $k$-мерных выпуклых многогранников с не более чем $n$ гранями старшей размерности (вершинами), а $M_k$ – пространство $k$-мерных выпуклых многогранников. Мы доказываем, что не существует непрерывного $\operatorname{SO}(k)$-эквивариантного отображения $M_k(n+k)\to M_k(n)$.
Пусть $T$ – пространство выпуклых тел в $\mathbb R^k$, а $T^s$ – его замкнутое подпространство из центрально-симметричных тел. Пусть $T_x$ означает замкнутое подмножество в $T$, расстояние $d$ от классов которого до $T^s$ составляет по меньшей мере $x>0$. Мы доказываем, что для всякого $y>0$ найдется такое $x>0$, для которого не существует непрерывного $\operatorname{SO}(k)$-эквивариантного отображения $T_x\to T_y$. Библ. – 3 назв.