Об условиях справедливости неравенства Пуанкаре

Пусть $l=1,2,\dots$, $p,q\ge1$, $G$ – область в $\mathbb R^n $ и $\mathcal P_l$ – пространство полиномов в $\mathbb R^n $ степени меньше $l$. Мы показываем, что включение $\mathcal P_l\subset L_q(G)$ (и, следовательно, $\mathrm{mes}_n (G)<\infty$) является необходимым условием справедливости обобщенного неравенства Пуанкаре
$$ \inf\{\|u-P\|_{L_q(G)}\colon P\in\mathcal P_l\}\le\mathrm{const}\,\|\nabla_l u\|_{L_p(G)},\quad u\in L_p^l(G). $$
Таким образом, это неравенство равносильно непрерывности вложения $L_p^l(G)\to L_q(G)$.
В случае предельного показателя $q=np/(n-lp)$ при $lp<n$ этот факт места не имеет. Мы приводим достаточные условия справедливости неравенства Пуанкаре в области бесконечного объема. Библ. – 4 назв.