Об асимптотике распределения сингулярных чисел степени случайной матрицы

Мы рассматриваем степени случайных матриц с независимыми элементами. Пусть $X_{ij}$, $i,j\ge1$ – независимые случайные величины (возможно комплексные) с $\mathbf E X_{ij}=0$ и $\mathbf E |X_{ij}|^2=1$. Пусть $\mathbf X$ означает $n\times n$ матрицу с $[\mathbf X]_{ij}=X_{ij}$ для $1\le i$, $j\le n$. Обозначим через $s_1^{(m)}\ge\ldots\ge s_n^{(m)}$ сингулярные числа матрицы $\mathbf W:=n^{-\frac m2}\mathbf X^m$ и определим эмпирическую функцию распределения квадратов сингулярных чисел формулой
$$ \mathcal F_\mathbf X^{(m)}(x)=\frac1n\sum_{k=1}^nI\{(s_k^{(m)})^2\le x\}, $$
где $I\{B\}$ означает индикатор события $B$. Мы доказываем, что при условии Линдеберга для распределений элементов матрицы математическое ожидание эмпирической функции распределения квадратов сингулярных чисел $F_\mathbf X^{(m)}(x)=\mathbf E\mathcal F_\mathbf X^{(m)}(x)$ сходится к функции распределения $G^{(m)}(x)$, определенной своими моментами
$$ \alpha_k(m):=\int_\mathbb Rx^k\,dG^{(m)}(x)=\frac1{mk+1}\binom{km+k}k. $$
Приводится доказательство с помощью преобразования Стилтьеса. Библ. – 8 назв.