Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. I

В работе изучается задача Коши для полулинейного волнового уравнения на торе $\mathbb{T}^n$, $n\geq3$:
\begin{equation} \ddot{u}-\triangle u+f(u)=h,\qquad u|_{t=0}=\varphi,\qquad \dot{u}|_{t=0}=\varphi. \tag{1} \end{equation}
Предполагается, что функция $f:\mathbb{R}^1\longrightarrow\mathbb{R}^1$ – непрерывна и существуют такие неотрицательные постоянные$A_1$, $A_2$, $A_3$ и такое $a\geq1$, что
$$ A_1+A_2s^2+\int^s_0f(\theta)d\theta\geq0,\qquad\forall s\in\mathbb{R}^1, $$

$$ |f(s_1)-f(s_2)|\leq A_3(1+|s_1|^{a-1}+|s_2|^{a-1})|s_1-s_2|,\qquad\forall s_1,s_2\in\mathbb{R}^1. $$
В работе доказано, что если параметр $a$, лежит в интервале $1\leq a<(n+2)/(n-2)$, то при любых $\varphi\in W_2^1(\mathbb{T}^n)$, $\psi\in L_2(\mathbb{T}^n)$, $h\in L_{1,\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^1\to L_2(\mathbb{T}^n))$ задача (1) имеет, притом единственное, глобальное по времени решение $u$ такое, что $u\in C_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^1\to W_2^1(\mathbb{T}^n))$, $\dot{u}\in C_{\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^1\to L_2(\mathbb{T}^n))$ и $u\in L_{q,\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^1\to L_p(\mathbb{T}^n))$ для всех $p$, $q$, удовлетворяющих соотношениям
$$ \frac{n-3}{2n}<\frac1p<\frac{n-2}{2n},\qquad\frac1q=\frac{n-2}{2}-\frac np. $$
Библ. – 14 назв.