Асимптотическое распределение целых точек на трехмерной сфере

Пусть $Q(X)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, $X=(x_1,x_2,x_3)$; $r(n)$ – количество целочисленных решений уравнения
\begin{equation} Q(X)=n. \tag{1} \end{equation}
Доказана теорема: пусть $n=1,2,3,5,6\,(\operatorname{mod}8)$ и $r(n,\Omega)$ – количество целочисленных решений уравнения (1) таких, что $Y=X/\sqrt{n}\in\Omega$, где $\Omega$ – произвольная выпуклая область, с кусочно-гладкой границей на единичной сфере $S$: $Q(Y)=1$. Тогда
$$ r(n,\Omega)=\mu(\Omega)r(n)+O(n^{1/2-1/336+\varepsilon}),\qquad n\to\infty, $$
где $\mu(\Omega)$ – мера, нормированная условием $\mu(S)=1$. Аналогичный результат получен для трехмерного эллипсоида общего вида. Указанная теорема в сочетании с классическим результатом Гаусса–Зигеля о $r(n)$ дает равномерное распределение целых точек на трехмерной сфере (1). Библ. – 16 назв.