О некоторых аналогах неравенства Дж. фон Неймана для $J$-сжатий

Пусть $J$ – самосопряженный оператор, удовлетворяющий условию $J^2=I$. В работе доказано, что если $T$ – $J$-сжатие (т. е. $T^*JT-J\leqslant0$) и $f$ – внутренняя функция, аналитическая на спектре оператора $T$, то $f(T)$ – также $J$-сжатие. Также доказано, что в случае $J\ne I$ и $J\ne -I$ только внутренние функции удовлетворяют этому свойству. Рассматриваются и другие аналоги неравенства фон Неймана.