Сверточная метрика в пространстве мер и $\varepsilon$-изометрии в $L_p$

При $p>0$, $p\ne2,4,6,\dots$ на множестве таких борелевских мер $\mu$ на $\mathbb R$, что $\int|x|^p\,d\mu(x)<\infty$, вводится метрика, характеризующая близость сверток $|x|^p*\mu$ и $|x|^p*\nu$. Из сходимости последовательности вероятностных мер в этой метрике следует ее сходимость в метрике Канторовича-Рубинштейна. Отсюда выводится теорема об аппроксимации $\varepsilon$-изометрий: если $H$-конечномерное подпространство в $L_p$, то существует такая непрерывная функция $\tau_H(\varepsilon)$, $\lim_{\varepsilon\to0}\tau_H(\varepsilon)=0$, что для любого линейного $\varepsilon$-изометрического оператора $T\colon H\to L_p$ существует такая линейная изометрия $U\colon H\to L_p$, что $\|T-U\|<\tau_H(\varepsilon)$.