Взвешенное разбиение Вороного с пуассоновскими полями центров

Рассматривается взвешенное разбиение Вороного, порожденное системой $n$ пуассоновских полей центров. Исследуется состав и поле границ этой структуры. Доказано, что интенсивность поля границ между зернами типов $i$ и $j$ $(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$ равна
$$ q_{ij}=36^{1/3}\pi^{1/3}\Gamma\left(\frac23\right)p_ip_j\frac{(\alpha_i+\alpha_j)^3-|\alpha_i-\alpha_j|^3}{9\alpha_i\alpha_jc}, $$
где $p_i$ – объемная доля, $\alpha_i>0$ – вес (для сравнения расстояний) $i$-той компоненты, $c$ – масштаб. Получены формулы для интенсивностей полей границ в плоском и линейном сечении структуры: $q_{ij}^{(2)}=\frac\pi4q_{ij}$, $q_{ij}^{(1)}=\frac12q_{ij}$. Предложены оценки для параметров $p_i$ и $\alpha_i$ по наблюдению линейного сечения.