Асимптотика спектра псевдодифференциального оператора с периодическими бихарактеристиками

Пусть $\lambda_j$ – собственные значения положительного эллиптического псевдодифференциального оператора порядка $m>0$ на замкнутом компактном $d$-мерном $C^\infty$-многообразии, $N(\lambda)=\sharp\{j:\lambda_j\leqslant\lambda^m\}$. Показано, что для каждого $\varepsilon>0$
\begin{gather*} c_0(\lambda+\varepsilon)^d+c_1\lambda^{d-1}+Q(\lambda+\varepsilon)\lambda^{d-1}+o(\lambda^{d-1})\geqslant N(\lambda)\geqslant\\ \geqslant c_0(\lambda-\varepsilon)^d+c_1\lambda^{d-1}+Q(\lambda-\varepsilon)\lambda^{d-1}+o(\lambda^{d-1}), \end{gather*}
где $c_0$ и $c_1$ – стандартные вейлевские константы, $Q(\mu)$ – ограниченная функция на $\mathbb R^1$. Функция $Q(\mu)$ описывает влияние периодических бихарактеристик на асимптотику $N(\lambda)$. Этот результат справедлив и для дифференциальных операторов на компактном многообразии с краем при условии простого отражения бихарактеристик.