Аддитивная проблема делителей и ее обобщение

Для некоторого класса мультипликативных функций $f(n)$, в который, в частности, входят функции делителей $\tau_k^\alpha(n)$, $\alpha>0$ – вещественное число, и функция Мебиуса $\mu(n)$, показано, что задачу о нахождении асимптотики для
$$ \mathcal D(f;x,a,b)=\sum_{n\leqslant x}f(n)\tau(|bn+a|), $$
где $(a,b)=1$, $|a|\leqslant c_1x$, $1\leqslant b\leqslant \log^{c_2}x$ можно свести к задаче о нахождении асимптотики средних значений мультипликативных функций. Как одно из следствий доказано, что для фиксированных взаимно простых целых чисел $a$, $b$
$$ \mathcal D(\tau_k^\alpha;x,a,b)=x\sum_{\nu=0}^{[r]+2}B_\nu\log^{r-\nu}x+O\left(\frac{x(\log\log x)^c}{\log x}\right), $$
где $r=k^\alpha$, числа $B_\nu$ зависят от $a$, $b$, $k$ и $\alpha$.