О гипотезе Ю. В .Линника, связанной с распределением целых точек на трехмерной сфере

Доказано, что уравнение
$$ x_1^2+x_2^2+x^2=n,\quad n\equiv1,2,3,5,6\pmod8, $$
разрешимо в целых числах при некотором $x\mathrel {\mathop {\leqslant}\limits _{\varepsilon}}n^{\frac12-\frac7{705}+\varepsilon}$.
Утверждение вытекает из соответствующего асимптотического результата о числе целых точек в узком шаровом поясе. Для случая $n=dl^2$, $d>0$, — постоянное целое число, результат существенно улучшается. Библ. – 9 назв.