Обобщенный сдвиг, обобщенная свертка и некоторые экстремальные соотношения теории приближения функций

Рассматривается оператор обобщенного сдвига, определенный на пространстве функций, суммируемых на $[-1, 1]$ с весом $(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ $(\alpha\geqslant \beta\geqslant-\frac12)$, и построенная по этому оператору обобщенная свертка. Вводятся некоторые дифференциальные операторы и рассматриваются соответствующие классы функций, представимых в виде обобщенной свертки. Для этих классов получен ряд экстремальных соотношений теории приближения функций алгебраическими многочленами. Существенную роль играют при этом некоторые соотношения двойственности для классов обобщенных сверток.