Об асимптотике ядра Дирихле сумм Фурье по многоугольнику

Изучается поведение при $R\to+\infty$ двумерных ядер Дирихле $D_{RW}(x,y)=\sum_{(n,m)\in RW}e^{-2\pi i(nx+my)}$, где $W\in\mathbb R^2$ – фиксированный многоугольник. Известно, что $\|D_{RW}\|_{L([-1/2,1/2]^2)}\asymp\ln^2R$ для любого многоугольника, и $\|D_{RW}-\hat\chi_{RW}\|=O(\ln R)$, если координаты всех вершин $W$ являются рациональными числами. Показано, что в общем случае второй результат не, верен: существует такой треугольник $W$, что $\varlimsup_{R\to+\infty}\frac1{\ln^2R}(\|D_{RW}\|-\|\hat\chi_{RW}\|)>0$.