О распределении корней квадратичного сравнения

Рассмотрим полином $f^2+2rf-\beta$; $r,\beta\in\mathbb{Z}$, причем $\beta\ne\Box$, $r^2+\beta\ne\Box$. Пусть $\left(\frac fd\right)$ — символ Кронекера,
$$ \sigma(d)=\sum_{\stackrel{0<f\leqslant d}{f^2+2rf-\beta\equiv0\pmod{d}}}\left(\frac fd\right). $$
Доказано, что
$$ \sum_{d\leqslant x}\sigma(d)\ll x^{\frac58+\varepsilon}. $$
Приведены некоторые теоретико-числовые следствия этого результата. Библ. – 7 назв.