Дзета-функция аддитивной проблемы делителей и спектральное разложение автоморфного лапласиана

Получено представление дзета-функции аддитивной проблемы делителей $\zeta_k(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)\tau(n+k)}{n^s}$; $\operatorname{Re}s>1$, через спектральные характеристики автоморфного лапласиана. На его основе доказана мероморфная продолжимость $\zeta_k(s)$ на всю комплексную плоскость и получена степенная оценка роста $\zeta_k(s)$ при $|s|\to\infty$ в критической полосе $0<\operatorname{Re}s\leqslant1$. Отсюда с помощью метода комплексного интегрирования выводится асимптотическая формула
$$ \sum_{n\leqslant x}\tau(n)\tau(n+k)=xP_k(\log x)+O(x^{\frac23+\varepsilon}),\quad\varepsilon>0, $$
где $P_k(x)$ – квадратичный полином.