О распределении дробных частей многочленов

Пусть $\psi(x)=x-[x]-\frac12$. Сумма
$$ \sum_{0<n\le N}\psi\big(f(n)\big) $$
оценивается сверху в двух случаях: $f(x)=f_i(x)$ $(i=2,3)$, где $f_2(x)=\frac1\alpha x^2+\beta x+\gamma$, $f_3(x)=\frac1\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$; здесь $\alpha>0$ – большое число.
В качестве следствия доказан факт о распределении дробных частей:
если $\alpha\asymp N$ и $0<\nu<1$, то
$$ \sum_{\substack{1\le n\le N\\\{f_2(n)\}<\nu}}\big\{f_2(n)\}=\frac{\nu^2N}2+O_\varepsilon\Big(N^{1/2+\varepsilon}\Big). $$
Библ. – 10 назв.