О сумматорных функциях для автоморфных $L$-функций

Пусть
$$ f(z)=\sum_{n\ge1}\lambda_f(n)n^{\frac{\varkappa-1}2}e^{2\pi inz} $$
 – примитивная параболическая форма четного веса $\varkappa$ относительно полной модулярной группы, где $\lambda_f(n)$ – $n$-ое собственное значение оператора Гекке $T_n$. Пусть $\Delta(x,f\otimes f)$ – остаточный член в асимптотике для
$$ \sum_{n\le x}\lambda_f(n)^2. $$
По Ранкину и Сельбергу,
$$ \Delta(x,f\otimes f)\ll x^{3/5}. $$
В работе доказано, что
$$ \Delta(x,f\otimes f)=\Omega(x^{3/8}). $$
Доказано также, что
$$ \sum_{n\le x}\lambda_f(n^2)=\Omega(x^{1/3}). $$
Изучены и другие сумматорные функции, ассоциированные с автоморфными $L$-функциями.
Библ. – 22 назв.