Оценки норм в пространствах Бесова и Лизоркина–Трибеля для решений линейных гиперболических уравнений второго порядка

В работе рассматривается неоднородное гиперболическое уравнение
$$ \partial^2_tu+iB(t)\partial_tu+A(t)u=h\qquad{(1)} $$
на $[0,T]\times\mathfrak{M}$, где $\mathfrak{M}=\mathbb{R}^n$, либо $\mathfrak{M}$ — гладкое замкнутое многообразие, $A(t)$ и $B(t)$ — зависящие от времени $t\in[0,T]$ псевдодифференциальные операторы на $\mathfrak{M}$ порядков 2 и 1, соответственно. Для решений уравнения (1) при малых $t$ установлены оценки вида
\begin{multline*} ||\partial_t^lu(t,\cdot)||_{G_{p,q_2}^{r-l}}\leqslant c\left\{\sigma_{\nu,p,n}(t)(||u(0,\cdot)||_{E_{p',q_1}^{r+\nu}}+\right.\\ +\left.||\partial_t u(0,\cdot)||_{E_{p',q_1}^{r+\nu-1}})+\int_0^t\sigma_{\nu,p,n}(t-\tau)||h(\tau,\cdot)||_{E_{p',q_1}^{r+\nu-1}}d\tau\right\} \end{multline*}
с произвольными $r\in\mathbb{R}$ и целым $l\geqslant0$, где в качестве $G.^\cdot,.$ и $E.^\cdot,.$ можно брать пространство Бесова $B.^\cdot,.(\mathfrak{M})$, или пространство Лизоркина–Трибеля $F.^\cdot,.(\mathfrak{M})$ в зависимости от значений $n$, $\nu$, $p$, $q_1$, $q_2$ и “числа Бреннера” $m$, которое определяется по главным символам операторов $A(0)$ и $B(0)$; от $n$, $\nu$, $p$, $q_1$, $q_2$ и $m$ зависит также и конкретный вид скалярной функции $\sigma_{\nu,p,n}(t)$: она может быть степенной $|t|^{\nu-n+2n/p}$, либо логарифмической $|\log|t||$, либо константой.
Кроме того, получены оценки вида
$$ \left(\int_0^T ||\partial_t^lu(t,\cdot)||_{G_{p,q_1}^{r-l}}^{q_2}dt\right)^{1/q_2}\leqslant c\left\{||u(0,\cdot)||_{H^s}+||\partial_tu(0,\cdot)||_{H^{s-1}}+\int_0^T||h(\tau,\cdot)||_{H^{s-1}}d\tau\right\} $$
характеризующие свойства интегрируемости по пространству-времени и сглаживания (при $t>0$) решений уравнения (1). Библ. – 21 назв.