Ядро Пуассона – единственная аппроксимативная единица, асимптотически мультипликативная на $H^\infty$

Пусть $\varphi\in L^1(\mathbb{R})$, $\mathop{\mathrm{Im}}\varphi=0$, $\int\varphi=1$, $\lim\limits_{\varepsilon\to0}||(\varphi_\varepsilon*f)^2-\varphi_\varepsilon*(f^2)||_\infty=0$ для любой $f\in H^\infty(\mathbb{R})$, где $\varphi_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1})$. Тогда $\varphi(x)\equiv P_\varepsilon(x+h)$ при некоторых $h\in \mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$; $P$ обозначает ядро Пуассона. Библ. – 5 назв.