Асимптотическое поведение локальных времен двухиндексных случайных блужданий с конечной дисперсией

В работе рассматривается асимптотическое поведение при $n\to\infty$ числа $\varphi(m,n,j)$ попаданий возвратного случайного блуждания $\nu_{lk}=\sum_{i=1}^l\sum_{j=1}^k\xi_{ij}$ где $\{\xi_{ij}\}_{i, j=1}^\infty$ – независимые одинаково распределенные целочисленнозначные случайные величины, $\mathbf E\xi_{11}^2=D<\infty$, в точку $j$ до момента времени $(m; n)$, $m=m(n)$. Пусть $\hat t_n(s, t, x)=(mn)^{-1/2}\varphi([ms], [nt], [x\sqrt{mn}])$ и $\hat t(s, t, x)$ – локальное время броуновского листа $w(s, t)$, $\mathbf Ew^2(s,t)=Dst$. В работе доказывается слабая сходимость процессов $\hat t_n(s, t, x)$ к процессу $\hat t(s, t, x)$, $(s, t, x)\in[0, \infty)^2\times\mathbb R^1$, и этот результат применяется для исследования предельного поведения функционалов
$$ \eta_n(s, t)=\sum_{l=1}^{[ms]}\sum_{k=1}^{[nt]}\sigma_n(l, k)f_n(\nu_{lk}),\quad(s, t)\in[0, T]^2, $$
где $\sigma_n(l, k)$ и $f_n(\nu_{lk})$ – некоторые последовательности неслучайных функций.