О распределении супремума приращений броуновского локального времени

Совместное распределение величин $\hat t(t,r)$, $\hat t(t,r)$ и $\sup_{0\le s\le t}(\hat t(s,q)-\hat t(s,r))$, где $\hat t(t,x)$ – броуновское локальное время, однозначно определяется преобразованием Лапласа $\int_0^\infty e^{-\lambda t}E\{e^{-\mu\hat t(t,r)-\eta\hat t(t,q)},\sup_{0\le s\le t}(\hat t(s,q)-\hat t(s,r))>h|w(0)=x\}\,dt.$ Вычисление этого преобразования составляет основное содержание работы. Полученное выражение использовано для вывода точного модуля непрерывности процесса $\hat t(t,x)$ по переменной $x$:
$$ P\Big\{\limsup_{\substack{|y-x|=\Delta\downarrow0\\y,x\in R^1}}\frac{\sup_{0\le s\le t}|\hat t(s,y)-\hat t(s,x)|}{((\hat t(t,x)+\hat t(t,y))\Delta\ln 1/\Delta)^{1/2}}=2\Bigl\}=1 $$
Библ. – 11 назв.