Существование функции Фрагмена–Линделёфа и некоторые условия квазианалитичности

Пусть $E\subset\mathbb R^n$, $E=\bar E$, $\mathcal R=\mathbb R^{n+1}\setminus E$. Гармонические функции в области $\mathcal R$, обращающиеся в ноль на $E$, образуют конус $\mathcal P_E$. Известно, что $1\leqslant\dim \mathcal P_E\leqslant2$. В заметке показано, что если $\int_{\mathbb R^n}\frac{\rho(x, E)}{(1+x^2)^{\frac{n+1}2}}=+\infty$, то $\dim \mathcal P_E=1$ ($\rho(x, E)$ – расстояние от точки $x$ до $E$). При $n=1$ прослежена связь между вопросом о $\dim \mathcal P_E$ и вопросом о существовании заряда $\mu$ конечной вариации с носителем на $E$ такого, что его преобразование Фурье обращается в ноль на интервале. В случае $n=1$ доказано также, что из $\int_{C_E}\frac{dt}{1+|t|}<\infty$ вытекает, что $\dim \mathcal P_E=2$.