Псевдопродолжимость и свойства аналитических функций на граничных множествах положительной меры

Доказывается следующий аналог теоремы Фабри, пусть аналитическая в полидиске $\mathbb D^n$ функция $\mathcal F$ имеет достаточно лакунарный ряд Тейлора. Если на подмножестве тора $\mathbb T^n$ положительной меры Лебега функция $\mathcal F$ совпадает в некотором смысле с функцией, аналитической в достаточно большом подмножестве множества $(\mathbb C\setminus\bar{\mathbb D})^n$, то функция $\mathcal F$ аналитична в полидиске $(r\mathbb D)^n$ для некоторого $r>1$. Как следствие получается, что непостоянная функция, аналитическая в шаре $B\subset\mathbb C^n$ с достаточно лакунарным рядом Тейлора не может иметь на множестве положительной меры на сфере угловые граничные значения, равные по модулю единице или имеющие нулевую вещественную часть.