Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел

Для компактного оператора $A$ $(A\in\Upsilon_\infty)$ в гильбертовом пространстве пусть $s_n(A)$, $n=1,2,\dots$ – сингулярные числа и $N(s; A)=\operatorname{card} \{n\in\mathbb N: s_n(A)>s\}$, $s>0$. Пусть, для $0<p<\infty$
\begin{gather*} \Sigma_p=\{A\in\Upsilon_\infty: N(s, A)=O(s^{-p}), s\to0\},\\ \Sigma_p^0=\{A\in\Sigma_p: N(s, A)=o(s^{-p})\},\quad\sigma_p=\Sigma_p\setminus\Sigma_p^0. \end{gather*}
Функционалы $\Delta_p(A)=\limsup s^pN(s; A)$, $\delta_p(A)=\liminf s^pN(s; A)$, конечные для $A\in\Sigma_p$, зависят от класса $a\in\sigma_p$, но не от индивидуального элемента $A\in a$ (лемма Г. Вейля); это позволяет писать $\Delta_p(a)$, $\delta_p(a)$, $a\in\sigma_p$. Получены некоторые результаты о функционалах $\Delta_p$, $\delta_p$ (и об аналогичных функционалах для положительных и отрицательных собственных чисел в случае $a=a^*=\{A^*:A\in a\}$). В частности: I. Если $a_1, a_2\in\sigma_p$, то $[\Delta_p(a_1+a_2)]^{\frac1{p+1}}\leqslant[\Delta_p(a_1)]^{\frac1{p+1}}+[\Delta_p(a_2)]^{\frac1{p+1}}$ II. Пусть $a_1, a_2\in\sigma_p$, $a_1^*a_2=a_1a_2^*=0$, $\delta_p(a_i)=\Delta_p(a_i)$, $i=1, 2$. Тогда $\delta_p(a_1+a_2)=\Delta_p(a_1+a_2)=\Delta_p(a_1)+\Delta_p(a_2)$.