Гомотопии пространств диффеоморфизмов некоторых трёхмерных многообразий

Цель работы – вычислить гомотопический тип пространства диффеоморфизмов для большинства из ориентируемых трёхмерных многообразий с конечной фундаментальной группой, содержащих бутылку Клейна. Фундаментальная группа такого многообразия $Q$ имеет вид $\langle a, b\mid abab^{-1}, a^mb^{2n}=1\rangle$. В качестве $m$ и $n$ могут выступать любые взаимно простые натуральные числа; эти числа $m, n$ определяют многообразие $Q$ с точностью до диффеоморфизма. Пусть $K$ – бутылка Клейна, лежащая в $Q$, и пусть $P$ – замкнутая трубчатая окрестность в $Q$ этой бутылки Клейна $K$. Обозначим через $\operatorname{Diff}_0(Q)$ компоненту связности пространства диффеоморфизмов $Q\to Q$, содержащую $\operatorname{id} Q$, и через $E_0(K, Q)$ – компоненту связности пространства вложений $K\to Q$, содержащую включение $K\hookrightarrow Q$; аналогично определим $E_0(K, P)$. Главными результатами работы являются следующие две теоремы.
Теорема 1. Если $m, n\ne1$, то пространство $\operatorname{Diff}_0(Q)$ гомотопически эквивалентно окружности.
Теорема 2. Если $m, n\ne1$, то включение $E_0(K, P)\hookrightarrow E_0(K, Q)$ является гомотопической эквивалентностью.
С помощью известных результатов о пространствах диффеоморфизмов неприводимых достаточно больших многообразий теорема 1 без труда сводится к теореме 2. Основную трудность представляет доказательство теоремы 2. Это доказательство развивает технику работ Хэтчера и автора, посвященных пространствам $PL$-гомеоморфизмов и диффеоморфизмов неприводимых достаточно больших многообразий. В работе используется другое, конструктивное определение рассматриваемого класса многообразий. Нетрудно проверить, что эти определения равносильны.