Усиление теоремы Нэша–Тониоли

Пусть $\mathcal M$ – гладкое замкнутое многообразие в $\mathbb R^n$. Теорема Нэша–Тониоли заключается в том, что $\mathcal M$ можно сколь угодно хорошо приблизить (в $C^r$-топологии с $r<\infty$) в $\mathbb R^n$ неособым вещественно алгебраическим множеством при условии $\dim\mathcal M<(n-1)/2$. Известна гипотеза, восходящая по крайней мере к Нэшу, что ограничение на $\dim\mathcal M$ в теореме Нэша-Тониоли на самом деле излишне. Однако до сих пор в нестабильных размерностях (т. е. при $\dim\mathcal M\geqslant(n-1)/2$) возможность приближения была известна лишь для ориентируемых $\mathcal M$ коразмерности (в $\mathbb R^n$) 1 или 2. Цель работы – доказать следующую теорему, ослабляющую ограничение на $\dim\mathcal M$ в теореме Нэша–Тониоли до $\dim\mathcal M<(2n-1)/3$. Если $\mathcal M$ – гладкое замкнутое многообразие в $\mathbb R^n$ и $\dim\mathcal M<(2n-1)/3$, то $\mathcal M$ можно сколь угодно хорошо приблизить в $\mathbb R^n$ неособым вещественно алгебраическим множеством.