Асимптотическое разложение для числа решений диофантовой системы Гильберта–Камке

Получены асимптотические разложения для числа решений $J(k, N_1,\dots, N_n)$ системы уравнений
$$ \left.\begin{aligned} x_1+\dots+x_k&=N_1,\\ x_1^2+\dots+x_k^2&=N_2,\\ \dots\\ x_1^n+\dots+x_k^n&=N_n\\ \end{aligned}\right\} $$
в целых положительных числах $x_1,\dots, x_k$ при $k\to\infty$ и растущих $N_1,\dots, N_n$ как по степеням $k^{-1/2}$, так и по степеням $\displaystyle \left(k/(nN_n)\right)^{1/n}$.