О связи между законом больших чисел для квадратов и законом повторного логарифма

Пусть $\{X_i\}$ – последовательность независимых случайных величин с $EX_i=0, i=1,2,\dots,\quad b_n\uparrow\infty$ – последовательность действительных чисел. При некоторых условиях доказано, что если $\sum_{i=1}^n\bar X_i^2\stackrel{p}{=}O(b_n)$ $(\sum_{i=1}^n\bar X_i^2=O(b_n) \text{ п.н.})$, то $\sum_{i=1}^n\bar X_i\stackrel{p}{=}O(\varphi(b_n))$ $(\sum_{i=1}^n\bar X_i=O(\varphi(b_n)) \text{ п.н.})$, где $\varphi(x)=\sqrt x\quad(\varphi(x)=\sqrt{x\ln\ln x})$.