Умеренные уклонения для плотностей в $\mathbb R^k$

Пусть $\{X^i=(X^i_1,\dots,X^i_k),\, i=1,2,\dots\}$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со значениями в $k$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^k$. Пусть $X^1$ имеет плотность $p(x)$, и обозначим через $\varphi_{0,E}$ плотность нормального закона в $\mathbb R^k$ с математическим ожиданием $0=(0,\dots,0)$ и ковариационной матрицей $E$, через $p_n(x)$ плотность случайного вектора $z_n=\frac{1}{\sqrt n}(X^1+\dots+X^n)$. В работе найдены условия, необходимые и достаточные для выполнения соотношения
$$ p_n(x)=\varphi_{0,E}(x)(1+o(1)),\quad n\to\infty $$
равномерно относительно $x$; $x\in\mathcal A_n$, где $\mathcal A_n=\{x\in\mathbb R^k:|x|\leqslant c\sqrt{\log n}\}, c>0$.