Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе

Для двумерного тора $\mathbf T^2$ строится согласованная последовательность разбиений Рози (Rauzy) $d^0\supset d^1\supset\ldots\supset d^m\supset\ldots$, в которой каждое разбиение $d^{m+1}$ получается делением тайлов из предыдущего разбиения $d^{m}$. Доказаны следующие утверждения:
1) разбиение $d^{m}$ инвариантно относительно сдвига тора $S(x)=x+\begin{pmatrix} \zeta \\ \zeta ^2 \end{pmatrix}\mod\mathbf Z^2$, где $\zeta^{-1}>1$ – кубическое число Пизо, являющееся вещественным корнем уравнения $x^3-x^2-x-1=0$;
2) действие сдвига $S$ на разбиение $d^{m}$ сводится перекладыванию трех его базисных тайлов, разбивающих область $B^md$, где $d=d^0$ – нулевое развиение и $B=\begin{pmatrix} - \zeta & - \zeta \\ 1-\zeta ^2 & \zeta ^2\end{pmatrix}$;
3) ограничение $S^{(m)}=S | _{B^m d}$ сдвига $S$ на подмножество $B^md\subset\mathbf{T}^2$ (отображение первого возвращения) снова является сдвигом тора, аффинно изоморфным исходному сдвигу $S$. Данное свойство означает, что $d^m$ – бесконечно дифференцируемые разбиения единичного периода.
Пусть $Z_N(X)$ обозначает количество точек орбиты $S^1(0)$, $S^2(0),\ldots,$ $S^N(0),$ попавших в область $B^m d$. Доказано, что для отклонения
$$ r_N(B^m d)=Z_N(B^m d)-N \zeta^m $$
при всех уровнях $m$ выполнены неравенства $-1.7<r_N(B^m d)<0.5$. Библ. – 10 назв.