Управляющиие подпространства минимальной размерности. Элементарное введение. Discotheca

В работе вводится и исследуется следующая характеристика линейного оператора $A$, действующего в банаховом пространстве $X$:
$$ \operatorname{disc}A\stackrel{\mathrm{def}}=\sup\{\min(\dim R'\colon R'\subset R,\ R'\in\operatorname{Cyc}A)\colon R\in\operatorname{Cyc}A\}, $$
где $\operatorname{Cyc}A=\{R\colon R- \text{подпространство}~X,\ \dim R<+\infty,\ \operatorname{span}(A^nR\colon n\ge0)=X\}$. Bceгдa $\operatorname{disc}A\ge\mu_A=$ (кратность спектра оператора $A$) $\stackrel{\mathrm{def}}=\min(\dim R\colon R\in\operatorname{Cyc}A)$, причем (по определению) в каждом $A$-циклическом подпространстве содержится циклическое подпространство размерности $\le\operatorname{disc}A$. Для линейной динамической системы $x(t)=Ax(t)+Bu(t)$, обладающей свойством управляемости, характеристика $\operatorname{disc}A$ передаточного оператора $A$ показывает, насколько можно уменьшать управляющее подпространство, не теряя свойства управляемости. В работе устанавливаются некоторые общие свойства $\operatorname{disc}$'а (например, указаны условия, при которых $\operatorname{disc}(A\oplus B)=\max(\operatorname{disc}A,\operatorname{disc}B)$, вычислен $\operatorname{disc}$ для следующих операторов: $S$ ($S$ – сдвиг в пространстве Харди $H^2$); $\operatorname{disc}S=2$ (но $\mu_S=1$); $\operatorname{disc}S^*_n=n$ (но $\mu_{S^*_n}=1$) , где $S_n=S\oplus\dots\oplus S$; $\operatorname{disc}S=2$ (но $\mu_S=1$), где $S$ – двусторонний сдвиг. Доказано, что для нормального оператора $N$ с простым спектром $\operatorname{disc}N=\mu_N=1$ $\Longleftrightarrow$ (оператор $N$ редуктивен). Имеются и другие результаты, а также списов нерешенных задач. Библ. – 26 назв.