Аналитическое продолжение с континуума на его окрестность

Пусть $r$ – положительное число. Функция $f$, аналитическая в открытом множестве $\mathcal O\subset\mathbb C$, называется $r$-аналитической на множестве $E$, $E\subset\mathcal O$, если $\varlimsup_{k\to+\infty}\bigl|\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\bigr|^{1/k}\le\frac1r$ ($t\in E$).
ТЕОРЕМА. Пусть $K$ – компактное связное подмножество плоскости. Для любого $r>0$ существует такая открытая окрестность $V$ множества $K$, что любая функция, $r$-аналитическая на $K$, совпадает в некоторой окрестности множества $K$ с функцией, аналитической в $V$.
Эта теорема дает ответ на вопрос, поставленный в сборнике (РЖ Мат, 1979, 3Б536, стр. 33–35 книги). Библ. – 2 назв.