Divisibility properties of certain recurrent sequences

Пусть $g$ и $m$ – два положительных целых числа, $F$ – многочлен с целыми коэффициентами. Мы показываем, что рекуррентная последовательность $x_0=g$, $x_n=x_{n-1}^n+F(n)$, $n=1,2,3,\dots$, является периодической по модулю $m$. Далее рассматривается частный случай, где $F(z)=1$ и $m=p>2$ – простое число. Например, мы показываем, что последовательность $x_0=2$, $x_n=x_{n-1}^n+1$, $n=1,2,3,\dots$, имеет бесконечное количество элементов, делящихся на любое простое число $p$ меньшее или равное 211, кроме трех простых чисел $p=23,47,167$, которые не делят $x_n$. Эти рекуррентные последовательности связаны с построением трансцендентных чисел $\zeta$, для которых последовательности $[\zeta^{n!}]$, $n=1,2,3,\dots$, обладают некоторыми замечательными свойствами делимости. Библ. – 18 назв.