О системах неравенств

Пусть $N_{k,n,r}(P)$ – число целочисленных решений системы неравенств
$$ |x_1^\nu+\dots+x_k^\nu-y_1^\nu-\dots-y_k^\nu|\le P^{\nu-r},\ \ 1\le\nu\le n;\quad1\le x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k\le P. $$
Основным результатом является оценка при $k-\frac{n^2}4\gg nr\log r$
$$ N_{k,n,r}(P)\ll P^{2k-\frac{n(n+1)}2+\frac{(n-r)(n-r+1)}2}, $$
правильная по $P$. При $r=n$ это классическая теорема И. М. Виноградова о среднем. Библ. – 5 назв.