Равномерные оценки точности аппроксимации короткими асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме для квадратичных форм

Пусть $X,X_1,X_2,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных $\mathbb R^d$-значных случайных векторов. Предположим, что $\mathbf EX=0$ и распределение вектора $X$ не вырождено. Пусть $G$ – гауссовский случайный вектор с нулевым средним и такой, что его ковариационный оператор такой же как у $X$. Мы исследуем распределения невырожденных квадратичных форм $\mathbb Q[S_N]$ от нормированных сумм $S_N=N^{-1/2}(X_1+\dots+X_N)$ и показываем, что без дополнительных предположений
$$ \Delta_N^{(a)}\stackrel{\mathrm{def}}=\sup_x\bigl|\mathbf P\bigl\{\mathbb Q[S_N-a]\le x\bigr\}-\mathbf P\bigl\{\mathbb Q[G-a]\le x\bigr\}-E_a(x)\bigr|=\mathcal O\bigl(N^{-1}\bigr) $$
при всех $a\in\mathbb R^d$, если $d\ge5$ и если $\mathbf E\left\|X\right\|^4<\infty$. Здесь $E_a(x)$ – поправка Эджворта порядка $\mathcal O\bigl(N^{-1/2}\bigr)$. Кроме того, доказаны явные оценки порядка $\mathcal O\bigl(N^{-1}\bigr)$ для $\Delta_N^{(a)}$ и для функции концентрации случайной величины $\mathbb Q[S_N+a]$, $a\in\mathbb R^d$. Результаты переносят соответствующие результаты из работы Бенткуса и Гётце (1997) ($d\ge9$) на случай $d\ge5$. Библ. – 35 назв.