A survey on Büchi's problem: new presentations and open problems

Последовательность элементов коммутативного кольца с единицей, вторые конечные разности последовательности квадратов элементов которой образуют постоянную последовательность (2), называется последовательностью Бюхи.
Последовательность $x_n$, для которой $x_n=(x+n)^2$ при фиксированном $x$, является последовательностью Бюхи; мы называем эту последовательность тривиальной. Понятие тривиальности последовательности зависит от поставленной задачи, например, нас часто интересуют последовательности, не все элементы которых лежат в некотором подкольце рассматриваемого кольца (скажем, последовательности элементов поля рациональных функций $F(z)$, не лежащие в поле $F$). Проблема Бюхи для данного кольца – выяснить, существует ли такое число $M$, что любая последлвательность Бюхи элементов этого кольца длиной не меньше $M$ тривиальна.
Эта работа – обзор по проблеме Бюхи и ее аналогов для конечных разностей и степеней выше второй. В работе приводятся старые и новые открытые проблемы, несколько новых результатов и идеи доказательства некоторых известных результатов (например, условное доказательство Войта для кольца целых чисел и довольно детальное доказательство для полиномиальных колецнулевой характеристики). Приводится также новое короткое доказательство теоремы Хенсли, утверждающей, что проблема Бюхи имеет положительное решение для простых конечных полей. Обсуждаются приложения к логике, послужившие исходной мотивировкой рассматриваемых в этом обзоре проблем. Библ. – 30 назв.