Экстремальные конфигурации в некоторых задачах о емкости и гармонической мере

Изучаются экстремальные задачи, связанные с емкостью конденсатора и гармонической мерой компактов. В частности, дан отрицательный ответ на вопрос П. М. Тамразова о минимуме емкости конденсатора (Lect. Notes Math. 1165 (1985), 292–293). Получено решение поставленной В. Н. Дубининым (РЖМат, 1994, 7Б78) задачи о максимуме гармонической меры граничного множества в семействе областей, не содержащих “длинных” отрезков заданного наклона. Показано, что отрезок $[1-L,1]$ имеет максимальную гармоническую меру, вычисленную в точке $z=0$, среди всех кривых $\gamma=\{z\colon z=z(t),\ 0\le t\le1\}$, $z(0)=1$, лежащих в единичном круге и имеющих фиксированную длину $L$, $0<L<1$. Доказательства основаны на применении метода $*$-функций А. Бернстайна, метода диссимметризации В. Н. Дубинина и метода модулей семейств кривых. Библ. – 21 назв.