Формула следа для скалярного произведения рядов Гекке и ее приложения

В работе доказывается формула следа, в которой средние вида ($k=2,3,\dots$)
$$ \frac{\Gamma(2k-1)}{(4\pi)^{2k-1}}\sum_f\frac{\lambda_f(d)}{\langle f,f\rangle}\mathcal H_f^{(\chi)}(s_1)\overline{\mathcal H_f^{(\chi)}(\overline s_2)} $$
выражаются через некоторые арифметические средние на группе $\Gamma_0(N_1)$. Здесь суммирование ведется по нормализованному ортогональному базису в пространстве голоморфных параболических форм веса $2k$ относительно $\Gamma_0(N_1)$. При этом $\mathcal H_f^{(\chi)}(s)$ – ряд Гекке формы $f$, скрученный с примитивным характером $\chi\pmod{N_2}$, а $\lambda_f(d)$, $(d,N_1,N_2)=1$, – собственные значения операторов Гекке
$$ T_{2k}(d)f(z)=d^{k-1/2}\sum_{d_1d_2=d}d^{-2k}_2\cdot\sum_{m\,(\operatorname{mod}d_2)}f\Biggl(\frac{d_1z+m}{d_2}\Biggr). $$
С помощью формулы следа доказывается оценка для новой формы $f$
$$ \frac{d^l}{dt^l}\mathcal H_f^{(\chi)}(1/2+it)\ll_{\varepsilon,k,l,N_1}(1+|t|)^{1/2+\varepsilon}N_2^{1/2-1/8+\varepsilon}, $$
$\forall\varepsilon>0$ при $l=0,1,2,\dots$. Она улучшает известный ранее результат (Duke, Friedlander, Iwaniec, 1993) с верхней границей
$$ (1+|t|)^2N_2^{1/2-1/22+\varepsilon} $$
в правой части. В качестве следствия для коэффициентов Фурье голоморфных параболических форм веса $k+1/2$ получается оценка
$$ c(n)\ll_\varepsilon h^{1/4-1/16+\varepsilon}. $$
Она улучшает известный ранее результат (Iwaniec, 1987) с показателем $1/4-1/28+\varepsilon$. Библ. – 25 назв.